# 포트폴리오 최화

## 개요

포트리오 최적화ortfolio Optimization)는 투자자가 자산에 투함으로써 리스크 분산시키고, 주어진 리스크 수준에서 기대 수익을 극대화하거나, 목표 수익률을 달성하기 위해 리스크를 최소화하는정을 말한다 이는 현대 금공학의 핵심 개념 중 하나로 해리 마코츠(Harry Markowitz)가 1952년 제안한현대 포트폴리오 이론**(Modern Portfolio Theory, MPT)에 기반하고 있다. 포트폴리오 최적화는 개인 투자자 기관 투자자, 자산운용사에 이르기까지 폭넓게 활용되며, 금융 시장의 불확실성 속에서 효율적인 자산 배분을 가능하게 한다.

## 현대 포트폴리오 이론(MPT)

### 기본 개념

현대 포트폴리오 이론은 단순히 개별 자산의 수익률만을 고려하는 것이 아니라, 자산 간의 **상관관계**(Correlation)와 **분산**(Variance)을 고려하여 전체 포트폴리오의 리스크를 측정한다. 핵심 아이디어는 다음과 같다:

- 투자 수익률은 불확실하며, 확률분포를 따른다.
- 리스크는 수익률의 변동성(표준편차)으로 측정된다.
- 자산 간 상관관계가 낮을수록 리스크 분산 효과가 크다.

### 효율적 프론티어(Efficient Frontier)

효율적 프론티어는 주어진 리스크 수준에서 가장 높은 기대 수익을 제공하거나, 주어진 기대 수익에 대해 가장 낮은 리스크를 가지는 포트폴리오들의 집합을 의미한다. 이 선 위에 있는 포트폴리오는 **효율적 포트폴리오**(Efficient Portfolio)라고 하며, 투자자는 이 선 위에서 자신의 위험 선호도에 맞는 포트폴리오를 선택한다.

예를 들어, 보수적인 투자자는 낮은 수익과 낮은 리스크를 선택하고, 공격적인 투자자는 높은 수익과 높은 리스크를 감수할 수 있다.

## 포트폴리오 최적화의 수학적 모델

### 평균-분산 최적화(Mean-Variance Optimization)

가장 널리 사용되는 모델은 마코위츠의 평균-분산 최적화이다. 이 모델은 다음의 수식으로 표현된다:

\[
\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w}
\]

제약 조건:
- \(\sum_{i=1}^n w_i = 1\) (전체 투자 비중 합이 1)
- \(\mathbf{w}^T \mathbf{\mu} \geq R_{\text{target}}\) (목표 수익률 이상 달성)
- \(w_i \geq 0\) (필요 시 단매도 금지)

여기서:
- \(\mathbf{w}\): 자산별 투자 비중 벡터
- \(\Sigma\): 공분산 행렬 (자산 간 리스크 관계)
- \(\mathbf{\mu}\): 기대 수익률 벡터
- \(R_{\text{target}}\): 목표 수익률

이 최적화 문제는 **이차계획법**(Quadratic Programming)으로 해결할 수 있으며, 다양한 수치해석 도구(Python의 `cvxpy`, MATLAB, R 등)를 통해 실현 가능하다.

## 주요 최적화 기법

### 1. 샤프 지수 최적화(Sharpe Ratio Maximization)

샤프 지수는 단위 리스크당 초과 수익을 측정하며, 다음과 같이 정의된다:

\[
\text{Sharpe Ratio} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p}
\]

- \(R_p\): 포트폴리오 수익률
- \(R_f\): 무위험 수익률 (예: 국채 수익률)
- \(\sigma_p\): 포트폴리오 수익률의 표준편차

샤프 지수를 극대화하는 포트폴리오는 **시장 포트폴리오**(Market Portfolio)로 간주되며, 자본자산가격결정모형(CAPM)과 연결된다.

### 2. 블랙-리터먼 모델(Black-Litterman Model)

평균-분산 최적화는 기대 수익률에 대한 민감도가 높아, 작은 예측 오차가 극단적인 자산 배분을 초래할 수 있다. 이를 보완하기 위해 도입된 모델로, 시장 균형 수익률(시행 수익률)에 투자자의 주관적 전망을 결합하여 더 안정적인 포트폴리오를 도출한다.

### 3. 리스크 패리티(Risk Parity)

모든 자산이 포트폴리오 리스크에 동일한 기여를 하도록 배분하는 전략이다. 전통적인 60:40 주식-채권 포트폴리오보다 리스크 분산이 더 균형 잡힌 구조를 제공하며, 특히 변동성이 높은 자산에 과도한 리스크가 몰리는 것을 방지한다.

## 실무적 고려사항

- **데이터 품질**: 기대 수익률과 공분산 행렬은 과거 데이터에 의존하므로, 과거가 미래를 반영하지 않을 경우 최적화 결과가 왜곡될 수 있다.
- **모델 리스크**: 모든 모델은 가정에 기반하므로, 시장의 비정상성(예: 금융위기)에 취약할 수 있다.
- **거래비용**: 자산 재조정 시 발생하는 비용을 고려하지 않으면 실전 적용에서 성과가 저하될 수 있다.
- **단매도 제약**: 많은 최적화 모델은 단매도를 허용하지 않도록 제약을 걸며, 이는 현실적인 투자 조건을 반영한다.

## 관련 기술 및 도구

포트폴리오 최적화는 다음과 같은 도구를 통해 구현된다:

| 도구 | 용도 |
|------|------|
| Python (`cvxpy`, `scipy.optimize`) | 수치 최적화 및 모델링 |
| R (`PortfolioAnalytics`) | 통계 기반 포트폴리오 분석 |
| Excel (Solver) | 간단한 최적화 문제 해결 |
| MATLAB | 고급 수학적 모델링 |

## 참고 자료 및 관련 문서

- Markowitz, H. (1952). "Portfolio Selection". *The Journal of Finance*.
- Black, F., & Litterman, R. (1992). "Global Portfolio Optimization". *Financial Analysts Journal*.
- Chincarini, L. B. (2010). *Quantitative Equity Portfolio Management*.
- 관련 문서: [자산배분 전략](링크), [위험 프리미엄](링크), [자본자산가격결정모형](링크)

포트폴리오 최적화는 이론과 실무의 균형을 요구하는 복잡한 분야로, 지속적인 모델 개선과 데이터 기반 의사결정이 핵심이다.